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三角脈沖信號的卷積

發布時間:2022-07-14 來源:TsinghuaJoking 責任編輯:wenwei

【導讀】根據信號與系統答疑過程中,學生對于三角形信號卷積結果的疑惑,給出了相應的數值、理論、以及頻譜分析的解答。特別是后面頻譜分析部分也是由另外參加答疑的同學提出的。之所以這個題目會產生疑問,主要原因來自于卷積計算“圖解法”所帶來的誤導。圖解方法只能幫助確定卷積的階段和積分上下限,求解卷積結果還是需要根據實際信號函數進行計算。


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簡 介: 根據信號與系統答疑過程中,學生對于三角形信號卷積結果的疑惑,給出了相應的數值、理論、以及頻譜分析的解答。特別是后面頻譜分析部分也是由另外參加答疑的同學提出的。之所以這個題目會產生疑問,主要原因來自于卷積計算“圖解法”所帶來的誤導。圖解方法只能幫助確定卷積的階段和積分上下限,求解卷積結果還是需要根據實際信號函數進行計算。


01 三角波卷積


一、答疑碰到的問題

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這兩天信號與系統期末考試答疑中,多次碰到學生詢問起一個課堂練習的習題。也就是為什么兩個等腰三角形的卷積是答案(C):一個類似于升余弦的光滑曲線,而不是答案(B)一個尖頂的脈沖。此時才意識到這個問題的確有和直覺相違背的地方。


2.png

圖1.1.1 三角波與自身的卷積波形:選擇題

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通過分析,造成判斷錯誤的來源,實際上是誤用了求解卷積過程中的“圖解法”。圖解方法通過把卷積的數學運算轉換成信號波形的變化,幫助確定卷積階段和積分的上下限。但往往也會對卷積結果產生誤導,即部分同學會將兩個圖像重疊對應的圖像面積當做求解的結果,但這種情況只能發生在一個信號是常量的情況。


1656664081838391.png

圖1.1.2 對于簡單信號所使用的圖解方法


二、問題分析

??

這兩天答疑過程中,學生也給出了對于這個問題很好的解釋。下面給出相應的總結:


1、數值求解

??

下面是通過數值求解反映的 一些等腰三角形與其自身卷積的結果,結果說明了兩個等腰三角學卷積的確是一個一階導數光滑的曲線。


1656664063469512.gif

圖1  三角波與三角波相互卷積


2、理論分析

??

對于這類有限長度的簡單信號,在求解它們之間相互卷積的時候,同時使用“圖解法”幫助確定積分的區間。由于兩個三角波形自身都具有兩個變化階段一個是上升階段,一個是下降階段。它們的長度相同,所以通過簡單分析可以知道這兩個三角波卷積過程,它們重合情況可以分成四個階段,如下圖所示。當1656664041832946.png不在這四個階段的時候,兩個三角形不重合,卷積結果為 0。


1656664020691226.png

圖1.2.2 卷積過程中四個不同的重疊階段

??

由于參與卷積的信號左右對稱,所以只需要對于第一、第二階段進行求解;然后將結果偶對稱得到信號在1656664002862074.png之后的結果。


(1)第一個階段


1656663988461501.png時,兩個三角形的重疊范圍是1656663973894249.png。此時對應的卷積運算為


6.png


這個求解化簡過于繁瑣,使用Python中的符號求積分軟件包可以幫助進行求解


t,T = symbols('t,T')

result = integrate(-(T-t-1)*(T+1),(T,-1,t))


(2)第二階段

??

1656663941887901.png,參與卷積的信號重疊方式為如下圖所示,重疊區域為1656663922805250.png。


1656663876821065.png


合并前面求解的第一、第二階段的公式,將它們進行反褶之后,便可以得到第三、第四階段的公式。最終三角形卷積的結果為:


10.png


(3)數值驗證

??

下面使用Python對上述公式進行繪制,查看卷積結果的信號波形。


def w(t,t1,t2):

  return heaviside(t-t1, 0.5)-heaviside(t-t2, 0.5)

def f1(t):

   return t**3/6 + t**2 + 2*t + 4/3

def f2(t):

  return -t**3/2 - t**2 + 2/3

def f(t):

    return f1(t) * w(t, -2, -1) +\

     f2(t) * w(t, -1, 0) +\

    f2(-t) * w(t, 0, 1) +\

    f1(-t) * w(t, 1, 2)


t = linspace(-2, 2, 500)

fdim = f(t)

plt.plot(t, fdim)

plt.xlabel("t")

plt.ylabel("f(t)")

plt.grid(True)

plt.tight_layout()

plt.show()


1656663827654018.png


3、傅里葉變換

??

可以利用傅里葉變換卷積定理,分析兩個三角脈沖信號的卷積。對于高度為 1,寬度為 2 的對稱等腰三角型,對應的頻譜為 


12.png

??

卷積結果對應的頻譜為:


13.png

     

當然,直接從上面結果進行傅里葉反變換求解卷積時域表達式也比較麻煩,不過它可以告訴我們,卷積結果的頻譜幅度衰減的規律應該是1656663794493156.png。再由信號波形的光滑性與頻譜衰減之間的關系可知,卷積結果應該是滿足二階導數連續。由此也可以幫助判斷在選擇題中,只有答案(C)能夠滿足二階導數連續的要求,其它三個信號波形對應的一階導數都不連續。


來源:TsinghuaJoking,原創:卓晴  



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